计算机系统基础(一)笔记——Week2 数据的表示和存储

本文最后更新于：2024年5月25日凌晨

Week2 数据的表示和存储

2.1 数制和编码

信息的二进制编码

机器级数据分两类：

数值数据：无符号整数、带符号整数、浮点数（实数）
非数值数据：逻辑数（包括位串）、西文字符、汉字

计算机内部均使用二进制编码

真值和机器数：

机器数：用0/1编码的计算机内部的0/1序列
真值：真正的值

如unsigned short x=127,机器数是0000 0000 0111 1111

数值数据的表示

确定数值数据首先要确定三个要素：

进位计数制
- 十/二/十六/八进制及其转换
定/浮点表示
- 定点整数、定点小数
- 浮点数
如何用二进制编码（解决正负号）
- 原码、补码、反码、移码

定点数和浮点数

Q：如何表示数值数据中的小数点？

通过约定小数点的位置来表示

小数点位置约定在固定位置的数称为定点数
小数点位置约定为可浮动的数称为浮点数

定点小数用来表示浮点数的尾数

定点整数用来表示整数，分为带符号/无符号整数

💡 任何实数： $X={(-1)^s}\times M \times R^E$ ，其中 $s\in \{0,1\}$ ，用来决定符号；M是一个二进制定点小数（尾数）；E是一个二进制定点整数（阶）；R是基数，为2/4/16等。计算机只用这三个数，就确定X，这称为浮点数

2.2 定点数的编码表示

原码表示

0→0000,-0→1000

1→0001,-1→1001

容易理解，但是：

0的表示不唯一
加减运算方式不统一
需额外对符号位处理，不利于硬件设计
当a<b时，实现a-b困难

50年代开始，整数部分用补码表示，但尾数用原码定点小数表示

移码表示

即将每一个数值加上一个偏置常数（Excess/bias）

通常，当编码位数为n时，bias取 $2^{(n-1)}or2^{(n-1)}-1$

比如：n=4，bias=8

-8→0000B，-7→0001B，7→1111B

💡 当bias=2^(n-1)时，移码和补码仅第一位不同

移码用来表示浮点数的阶

便于加减运算时的对阶操作（比大小）

$1.01\times 2^{-1} +1.11 \times 2^3$ 补码：111（-1）< 011（3）

$1.01\times 2^{-1+4} +1.11 \times 2^{3+4}$ 移码：011（3）<111（7）

补码表示（模运算）

举个例子：模12系统中，-4=8，-3=9，-5=7……

一个负数的补码等于模减去该负数的绝对值
对于模n，数a减去小于n的另一数字b，可以用a加上 -b的补码来代替

10-4=10+(12-4)=10+8=6（mod12）
8位二进制加法器模运算系统：

0111 1111-0100 0000=0111 1111+（2^8-0100 0000）

=0111 1111+1100 0000=1 0011 1111（mod2^8）=0011 1111

[x]补=2^n+x（mod 2^n）举个例子：[-1000]补=10000-1000=01000=1000

补码和真值的对应关系

特殊数的补码

$[-2^{n-1}]_{补}=2^n-2^{n-1}=10...0(n-1个0)(mod 2^{n})$

$[-1]_{补}=2^{n}-0...01=11...1(n个1)(mod 2^n)$

💡 32位机器中，int、short、char型数据的机器数各占32、16、8位
变形补码

双符号位，用来存放可能溢出的中间结果
真值求补码

正数补码是其本身

负数补码：各位取反，末位加1（从右往左的遇到的第一个1前面都取反）
补码求真值

$A_{补}=a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0$

$A=-a_{n-1}2^{n-1}+a_{n-2}2^{n-2}+...+a_{0}2^{0}$

例子：1101 0110的真值： $-2^7+2^6+2^4+2^2+2=-42$

简便求法：

符号为0，则为正数，数值部分相同

符号为1，则为负数，数值各位取反，末位加1（从右往左的遇到的第一个1前面都取反）

2.3 C语言中的整数

无符号整数

机器中的位排列有两种：高到低从左到右/从右到左

可以用LSB(Least Significant Bit)和MSB标识最低有效位和最高有效位，进行区分

一般高到低采用从左往右

一般全是正数运算采用无符号整数（编码中没有符号位）

带符号整数

用MSB表示数符

用补码表示带符号整数

C语言中无/带符号整数

(unsigned) int/short/long

常在数后面加上’U’/’u’表示无符号数

如果同时有unsigned和signed，C编译器全部转换为unsigned

例子：32位用补码表示的机器上执行以下表达式

32位说明最大整数为2^31-1=2147483648-1=2147483647

表达式	结果	说明
0==0U	1	00…0B=00…0B
-1<0	1	11…11B(-1)<00…00B(0)
-1<0U	0	11…11B(2^32-1)>00…00B(0)
2147483647>-2147483647-1	1	011…1B(2^31-1)>100…0B(-2^31)
2147483647U>-2147483647-1	0	011…1B(2^31-1)>100…0B(2^31)
2147483647>(int)2147483648U	1	011…1B(2^31-1)>100…0B(-2^31)
-1>-2	1	11…1B(-1)>11…10B(-2)
(unsigned)-1>-2	1	11…1B(2^32-1)>11…10B(2^32-2)

编译器处理常量默认的范围

C90:

0~2^31-1	int
2^31~2^32-1	unsigned int
2^32~2^63-1	long long
2^63~2^64-1	unsigned long long

C99:

0~2^31-1	int
2^31~2^63-1	long long
2^63~2^64-1	unsigned long long

一些例子：

某些32位系统上，-2147483648<2147483647==false

编译器先将-号和2147483648分开，先确定2147483648的类型，C90下解释为unsigned int类型，而右边解释为带符号数，故处理为无符号类型。由于10…0B大于01…1B，结果为false
int i=-2147483648，则i<2147483647==true

按int型整数比较，结果为true
-2147483647-1<2147483647==true

-号分开处理，而2147483647=2^31-1，处理为int类型

#include <stdio.h>
int main()
{
	int x=-1;
	unsigned u=2147483648;
	printf("x = %u = %d\\n",x,x);
	printf("u = %u = %d\\n",u,u);
	if(-2147483648<2147483647)
		printf("-2147483648 < 2147483647 == true\\n"); 
	else
		printf("-2147483648 < 2147483647 == false\\n");
		
	if(-2147483648-1<2147483647)
		printf("-2147483648-1 < 2147483647\\n");
	else if(-2147483648-1==2147483647)
		printf("-2147483648-1 == 2147483647\\n");
	else
		printf("-2147483648-1 > 2147483647\\n");
	return 0;
}

在ISO C90下，结果为

x = 4294967295 = -1
u = 2147483648 = -2147483648
-2147483648 < 2147483647 == false
-2147483648-1 == 2147483647

2.4浮点数的编码表示

科学计数法与浮点数

科学计数法表示： $6.02\times10^{21}$ ，二进制实数表示： $1.101\times2^{-10}$

浮点数的表示范围

IEEE 754标准规格化数表示

规格化数： $+/-1.xxxxx_{two}\times2^{Exponent}$ （小数点前总是1，故可隐含表示）

单精度

S Exponent Significand

1 bit 8 bits 23 bits
- Sign bit：1为负数，0为正数
- Exponent：范围为移码0000 0001-1111 1110（-126到127），全0和全1表示特殊值
  
  移码中的偏置常数：单精度为127，双精度为1023
- Significand：规格化尾数最高位总是1，所以隐含表示，省1位
  
  单精度：1+23bits 双精度：1+52bits
SP： $(-1)^S\times(1+Significand)\times 2^{Exponent-127}$

DP： $(-1)^S\times(1+Significand)\times 2^{Exponent-1023}$
举个例子：float型变量x的机器数是BEE00000H，求x的值？

BEE00000H=1011 1110 1110 0000 0000 0000 0000 0000

=1—01111101—11000000000000000000000

S：1，负数

Exponent：移码125 原码-2

Significand： $1+1\times 2^{-1}+1\times2^{-2}+0\times2^{-3}+...=1+0.5+0.25=1.75$

SP： $-1.75\times2^{-2}=-0.4375$
举个例子：float型变量x=-12.75，求机器数？

$-12.75=-1100.11B=-1.10011B\times 2^3$

S：1

Exponent：原码3 移码130=1000 0010

Significand：1001 1000 0000 0000 0000 000

PS：1—1000 0010—1001 1000 0000 0000 0000 000=1100 0001 0100 1100 0000 0000 0000 0 000=C14C0000H

S	Exponent	Significand
1 bit	8 bits	23 bits

IEEE 754标准特殊数表示

0的表示

+0：0 00000000 00000000000000000000000

-0： 1 00000000 00000000000000000000000
$+\infty/-\infty$ 的表示

💡 浮点数除0的结果是 $+/-\infty$ ，而不是溢出异常

$+\infty$ ：0 11111111 00000000000000000000000

$-\infty$ ：1 11111111 00000000000000000000000
“非数”的表示

即NAN(Not a number)

Exponent=255，Significand=nonzero

举个例子：0/0=NaN，sqrt(-4.0)=NaN

总结以上内容：

Exponent	Significand	表示
0	0	正负0
0	nonzero	非规格化数
1-254	任意小数点前隐含1	规格化数
255	0	正负无穷
255	nonzero	NaN

规格化数的范围： $1.0..0\times2^{-126}-1.1..1\times2^{-126}$

非规格化数的范围： $0.0..0\times2^{-126}-0.1..1\times2^{-126}\rightarrow (-1)^s\times0.xx...x\times2^{-126}$

💡 当输入一个不可表示数时，机器会将其转换为最近的可表示数

2.5 非数值数据的编码表示

逻辑数据的编码表示

逻辑值：关系表达式

表示：用一位表示逻辑值，N位串表示N个逻辑数据

运算：按位进行运算

识别：计算机靠指令识别逻辑数据

西文字符的编码表示

表示：常用7位ASCII码表示

常见ASCII码：0~9 ⇒ 011 0000~011 1001

汉字及国际字符的编码表示

编码形式：

输入码（拼音、微软输入法等）：对汉字用相应按键进行编码表示，用于输入
内码：用于在系统中进行存储、查找、传送等
字模点阵或轮廓描述：描述汉字轮廓，用于显示/打印

多媒体信息的表示

图形由构成图形的直线或曲线的坐标点及控制点来描述/数值数据

2.6 数据宽度和存储容量的信息

数据的基本宽度

bit(比特)→Byte(字节)→word(字)

现代计算机中，存储器按字节编址

💡 字 $\not =$ 字长，字长指CPU内部的数据流经部件的宽度

小k通常表示1000，大K通常表示1024

2.7 数据存储时的字节排列

对于一个数据比如int型变量x=-10，x的存放地址为100，机器数是FFFFFFF6H，占4个单元

变量的地址是最小地址，即x存放在100#~103#
多个字节在存储单元中如何存放？

大端/小端方式

举个例子：int i=-65535，存放在100号单元（100~103），访问100号单元取出i时，要清楚其如何存放的。

$65535=2^{16}-1=0\underbrace{0...0}*{15}\underbrace{1...1}*{16}$

$-65535_{补}=1\underbrace{1...1}*{15}\underbrace{0...0}*{15}1=FFFF0001H$

	FF	FF	00	01
小端	103	102	101	100
	MSB			LSB
大端	100	101	102	103

大端：MSB所在的地址是数的地址

IBM 360/370，Motorola 68k，MIPS，Sparc，HP PA
小端：LSB所在的地址是数的地址

Intel 80*86，DEC VAX

检测系统的字节顺序

union的存放顺序是所有成员从低地址开始。

#include <stdio.h>
int main()
{
	union NUM{
			int a;
			char b;
	}num;
	num.a=0x12345678;
	if(num.b==0x12)
			printf("大端存放\\n");
	else
			printf("小端存放\\n");
	printf("num.b = 0x%x\\n",num.b); 
	return 0;
}

举个例子：

以下是由反汇编器生成的针对IA-32处理器的机器级代码表示文本

1	`80483d2: 89 85 a0 fe ff ff mov %eax,0xfffffea0 (%ebp)`

其中80483d2是指令地址，89 85 a0 fe ff ff是机器指令，mov %eax,0xfffffea0 (%ebp)是汇编指令，0xfffffea0是立即数

请问0xfffffea0的值和存放地址？IA-32是大端还是小端方式？

存放地址为0x80483d4，值为=-101100000B=-352，小端方式

字节交换问题

大小端转换时涉及到字节顺序问题

#计算机组成原理

计算机系统基础(一)笔记——Week2 数据的表示和存储

http://kcollision.github.io/2024/047f128493.html

作者

collision

更新于

2024年5月25日

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